Question

【题目】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6．

（1）如图1，若将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，连接AD，则△ABD的面积为　 　．

（2）如图2，点P为CA延长线上一个动点，连接BP，以P为直角顶点，BP为直角边作等腰直角△BPQ，连接AQ，求证：AB⊥AQ；

（3）如图3，点E，F为线段BC上两点，且∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，点M是线段AF上一个动点，点N是线段AC上一个动点，是否存在点M，N，使CM+NM的值最小，若存在，求出最小值：若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）36；（2）详见解析；（3）存在，最小值为3．

【解析】

（1）根据旋转的性质得到△ABD是等腰直角三角形，求得AD＝2BC＝12，根据三角形的面积公式即可得到结论；

（2）如图2，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，根据等腰直角三角形的性质，得到PQ＝PB，∠BPQ＝90°，根据全等三角形的性质得到PH＝BC，QH＝CP，求得CP＝AH，得到∠HAQ＝45°，于是得到∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，即可得到结论；

（3）根据已知条件得到∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，求得∠EAC＝30°，如图3，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN，求得AD＝AC＝6，根据直角三角形的性质即可得到结论．

解：（1）∵将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∵∠ACB＝90°，

∴BC⊥AD，

∴AD＝2BC＝12，

∴△ABD的面积＝ADBC＝12×6＝36，

故答案为：36；

（2）如图，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，

∴∠H＝∠C＝90°，

∵△BPQ是等腰直角三角形，

∴PQ＝PB，∠BPQ＝90°，

∴∠HPQ+∠BPC＝∠QPH+∠PQH＝90°，

∴∠PQH＝∠BPC，

∴△PQH≌△BPC（AAS），

∴PH＝BC，QH＝CP，

∵AC＝BC，

∴PH＝AC，

∴CP＝AH，

∴QH＝AH，

∴∠HAQ＝45°，

∵∠BAC＝45°，

∴∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，

∴AB⊥AQ；

（3）如图，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，

∵∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，∠BAC＝45°，

∴∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，

∴∠EAC＝30°，

则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN，

∵点C和点D关于AF对称，

∴AD＝AC＝6，

∵∠AND＝90°，

∴DN＝AD＝6＝3，

∴CM+NM最小值为3．