Question

6．在直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点是A（0，a）、B（b，0）、C（c，0），D是线段AB上任一点，直线OD交直线AC于E，∠ADO和∠ABO的平分线交于点P，若E点在AC边的延长线上，∠ACB与∠AED的平分线交于Q点，下面两个结论：
①∠P+∠Q的值不变；
②∠P-∠Q的值不变；
其中只有一个结论是正确的，请选择正确的结论并给出证明，求出定值．

Answer 1

分析 由∠ADO和∠ABO的平分线交于点P，得到∠ADP=$\frac{1}{2}∠$ADO=∠ABP+∠P，∠ABP=$\frac{1}{2}∠$ABO，根据三角形外角的性质得到$\frac{1}{2}$∠ADO=$\frac{1}{2}∠$ABO+$\frac{1}{2}∠$BOE=$\frac{1}{2}∠$ABO+∠P，于是得到∠P=$\frac{1}{2}∠$BOE，由∠ACB与∠AED的平分线交于Q点，得到∠CEQ+∠ECQ=$\frac{1}{2}$（∠OEC+∠OCE），由外角的性质得到∠BOE=∠OCE+∠OEC，于是得到∠CEQ+∠ECQ=$\frac{1}{2}$∠BOE，然后等量代换得到结论．

解答 解：①∠P+∠Q的值不变；
理由：∵∠ADO和∠ABO的平分线交于点P，
∴∠ADP=$\frac{1}{2}∠$ADO=∠ABP+∠P，∠ABP=$\frac{1}{2}∠$ABO，
∵∠ADO=∠ABO+∠BOE，
∴$\frac{1}{2}$∠ADO=$\frac{1}{2}∠$ABO+$\frac{1}{2}∠$BOE=$\frac{1}{2}∠$ABO+∠P，
∴∠P=$\frac{1}{2}∠$BOE，
∵∠ACB与∠AED的平分线交于Q点，
∴∠CEQ+∠ECQ=$\frac{1}{2}$（∠OEC+∠OCE），
∵∠BOE=∠OCE+∠OEC，
∴∠CEQ+∠ECQ=$\frac{1}{2}$∠BOE，
∴∠P=∠CEQ+∠ECQ，
∵∠Q+∠CEQ+∠ECQ=180°，
∴∠P+∠Q=180°，
∴∠P+∠Q的值不变．

点评 本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．