题目内容
14．
已知，如图l1∥l2，点A、B在直线l1上，AB=3，过点A作AC⊥l2，垂足为点C，AC=4，过点A的直线与直线l2交于点P，以点C为圆心，CP为半径作⊙C．（1）当CP=1时，求sin∠CAP的值和直线AP被⊙C截得的弦长；
（2）如果⊙C与以点B为圆心，BA为半径的⊙B相切，求CP的长；
（3）设点Q在射线CP上，若△QCB是等腰三角形，以QB为半径的⊙Q与⊙C外切，求⊙C的半径CP的长．
分析 （1）利用勾股定理得出AP的长，再利用锐角三角函数关系求出即可；
（2）利用当⊙C与⊙B相外切时以及当⊙C与⊙B相内切时分别得出即可；
（3）利用当QB=BC=5以及CQ=BC=5时分别得出QC，BQ的长，进而得出⊙C的半径CP的长．
解答 
解：（1）如图1，过点C作CH⊥AP于H，
∵AC⊥l2，AC=4，CP=1，
∴在Rt△ACP中，AP=$\sqrt{A{C}^{2}+C{P}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∴sin∠CAP=$\frac{CP}{AP}$=$\frac{1}{\sqrt{17}}$=$\frac{\sqrt{17}}{17}$，
∴∠CAP+∠ACH=∠PCH+∠ACH=90°，
∴∠PCH=∠CAP，
∴在Rt△PCH中，PH=CP×sin∠PCH=$\frac{\sqrt{17}}{17}$，
∴直线AP被⊙C截得的弦长为2PH=$\frac{2\sqrt{17}}{17}$；
（2）当⊙C与⊙B相外切时，
∵AB=3，AC=4，AC⊥l2，
∴BC=5，CP=5-3=2，
当⊙C与⊙B相内切时，CP=5+3=8，；
（3）若QC=QB，不合题意；
如图2，若QB=BC=5，过B作BG⊥CP于G，
∵l1∥l2，AC⊥l2，
∴BG=AC=4，CG=GQ=3，
∴CQ=6，
∴当⊙Q与⊙C外切时，CP=CQ-QB=6-5=1，
如图3，若CQ=BC=5，过B作BM⊥CP于M，
∴BM=AC=4，CM=3，
∴QM=2，
在Rt△MB中，
QB=$\sqrt{B{M}^{2}+Q{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
故当⊙Q与⊙C外切时，CP=CQ-BQ=5-2$\sqrt{5}$，
综上所述：⊙C的半径CP的长为：1或5-2$\sqrt{5}$．
点评 此题主要考查了勾股定理以及圆的综合应用、相切的性质、等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论得出CP的长是解题关键．
如图，若AC=BD，AC⊥BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD的中点．求证：四边形EFGH为正方形．| A． | 1 | B． | -27 | C． | 1或-27 | D． | 无法确定 |
如图，长方形ABCD的面积为60平方厘米，AE=EB，BF=FC，CG=GD，H为AD边上任意一点，阴影部分面积和长方形ABCD面积的比是1：2．
如图，已知直线l：$y=\sqrt{3}x+3$与x轴、y轴交于A、B两点，将直线l向下平移m个单位长度后得直线l1，直线l1与x轴、y轴分别交于C、D两点，将△COD绕点O沿逆时针方向旋转60°后得到△C′O′D′．若△AOB≌△COD：
如图，AB为半⊙O的直径，C为弧AB上一点，D为弧AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F．求证：