已知.如图l1∥l2.点A.B在直线l1上.AB=3.过点A作AC⊥l2.垂足为点C.AC=4.过点A的直线与直线l2交于点P.以点C为圆心.CP为半径作⊙C．(1)当CP=1时.求sin∠CAP的值和直线AP被⊙C截得的弦长,(2)如果⊙C与以点B为圆心.BA为半径的⊙B相切.求CP的长,(3)设点Q在射线CP上.若△QCB是等腰三角形.以QB为半径的⊙Q与⊙C外切.求⊙C� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．

已知，如图l₁∥l₂，点A、B在直线l₁上，AB=3，过点A作AC⊥l₂，垂足为点C，AC=4，过点A的直线与直线l₂交于点P，以点C为圆心，CP为半径作⊙C．
（1）当CP=1时，求sin∠CAP的值和直线AP被⊙C截得的弦长；
（2）如果⊙C与以点B为圆心，BA为半径的⊙B相切，求CP的长；
（3）设点Q在射线CP上，若△QCB是等腰三角形，以QB为半径的⊙Q与⊙C外切，求⊙C的半径CP的长．

分析（1）利用勾股定理得出AP的长，再利用锐角三角函数关系求出即可；
（2）利用当⊙C与⊙B相外切时以及当⊙C与⊙B相内切时分别得出即可；
（3）利用当QB=BC=5以及CQ=BC=5时分别得出QC，BQ的长，进而得出⊙C的半径CP的长．

解答解：（1）如图1，过点C作CH⊥AP于H，
∵AC⊥l₂，AC=4，CP=1，
∴在Rt△ACP中，AP=$\sqrt{A{C}^{2}+C{P}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∴sin∠CAP=$\frac{CP}{AP}$=$\frac{1}{\sqrt{17}}$=$\frac{\sqrt{17}}{17}$，
∴∠CAP+∠ACH=∠PCH+∠ACH=90°，
∴∠PCH=∠CAP，
∴在Rt△PCH中，PH=CP×sin∠PCH=$\frac{\sqrt{17}}{17}$，
∴直线AP被⊙C截得的弦长为2PH=$\frac{2\sqrt{17}}{17}$；

（2）当⊙C与⊙B相外切时，
∵AB=3，AC=4，AC⊥l₂，
∴BC=5，CP=5-3=2，
当⊙C与⊙B相内切时，CP=5+3=8，；

（3）若QC=QB，不合题意；
如图2，若QB=BC=5，过B作BG⊥CP于G，
∵l₁∥l₂，AC⊥l₂，
∴BG=AC=4，CG=GQ=3，
∴CQ=6，
∴当⊙Q与⊙C外切时，CP=CQ-QB=6-5=1，
如图3，若CQ=BC=5，过B作BM⊥CP于M，
∴BM=AC=4，CM=3，
∴QM=2，
在Rt△MB中，
QB=$\sqrt{B{M}^{2}+Q{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
故当⊙Q与⊙C外切时，CP=CQ-BQ=5-2$\sqrt{5}$，
综上所述：⊙C的半径CP的长为：1或5-2$\sqrt{5}$．