Question

7．如图，点P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E、F，连接EF，下列结论①△FPD是等腰直角三角形；②AP=EF；③AD=PD；④∠PFE=∠BAP，其中正确的结论是①②④（请填序号）

Answer 1

分析 用正方形的性质和垂直的定义判断出四边形PECF是矩形，从而判定②正确；直接用正方形的性质和垂直得出①正确，利用全等三角形和矩形的性质得出④正确，由点P是正方形对角线上任意一点，说明AD和PD不一定相等，得出③错误．

解答 解：如图，

∵P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，
∴PA=PC，∠C=90°，
∵过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD，
∴∠PEC=∠DFP=∠PFC=∠C=90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴PC=EF，
∴PA=EF，故②正确，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABD=∠BDC=∠DBC=45°，
∵∠PFC=∠C=90°，
∴PF∥BC，
∴∠DPF=45°，
∵∠DFP=90°，
∴△FPD是等腰直角三角形，故①正确，
在△PAB和△PCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABP=∠CBP}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△PAB≌△PCB，
∴∠BAP=∠BCP，
在矩形PECF中，∠PFE=∠FPC=∠BCP，
∴∠PFE=∠BAP．故④正确，
∵点P是正方形对角线BD上任意一点，
∴AD不一定等于PD，
只有∠BAP=22.5°时，AD=PD，故③错误，
故答案为：①②④．

点评 此题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直的定义，解本题的关键是判断出四边形PECF是矩形．