题目内容
【题目】将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图1摆放，点D为AB边的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，且BC=2.
（1）求证：△ADC∽△APD；
（2）求△APD的面积；
（3）如图2，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断
的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由．
【答案】(1)见解析;(2) 
;(3) 不会随着α的变化而变化
【解析】
（1）先判断出△BCD是等边三角形，进而求出∠ADP=∠ACD，即可得出结论；
（2）求出PH，最后用三角形的面积公式即可得出结论；
（3）只要证明△DPM和△DCN相似，再根据相似三角形对应边成比例即可证明．
（1）证明：∵△ABC是直角三角形，点D是AB的中点，
∴AD=BD=CD，
∵在△BCD中，BC=BD且∠B=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD=∠BDC=60°，
∴∠ACD=90°－∠BCD=30°，
∠ADE=180°－∠BDC－∠EDF=30°，
在△ADC与△APD中，∠A=∠A，∠ACD=∠ADP，
∴△ADC∽△APD.
（2）由（1）已得△BCD是等边三角形，∴BD=BC=AD=2，
过点P作PH⊥AD于点H，
∵∠ADP=30°=90°－∠B=∠A，
∴AH=DH=1， tanA=
，
∴PH=.
∴△APD的面积=
AD·PH=
（3）
的值不会随着α的变化而变化.
∵∠MPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，∴∠MPD=∠BCD=60°，
在△MPD与△NCD中，∠MPD=∠NCD=60°，∠PDM=∠CDN=α，
∴△MPD∽△NCD，∴
，
由（1）知AD=CD，∴
，
由（2）可知PD=2AH，∴PD=
，
∴
．
∴的值不会随着α的变化而变化.
