题目内容
7．
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足$\frac{CF}{FD}$=$\frac{1}{3}$，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；④S△DEF=4$\sqrt{5}$．其中正确的是①②④（写出所有正确结论的序号）．
分析 由垂径定理得出CG=DG，$\widehat{AC}=\widehat{AD}$，得出圆周角∠ADF=∠E，再由公共角相等，即可得出△ADF∽△AED，①正确；
由已知条件求出FD，得出CD、CG，即可求出FG=2，②正确；
由相交弦定理求出EF，得出AE，由△ADF∽△AED，得出对应边成比例$\frac{AD}{AE}=\frac{AF}{AD}$，求出AD2=21，由勾股定理求出AG，得出tan∠E=tan∠ADF=$\frac{AG}{DG}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$，③错误；
作EM⊥CD于M，则EM∥AB，证出△EFM∽△AFG，得出比例式$\frac{ME}{AG}=\frac{EF}{AF}$，求出ME，即可得出S△DEF=$\frac{1}{2}$FD•ME=4$\sqrt{5}$，④正确．
解答 解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CG=DG，$\widehat{AC}=\widehat{AD}$，∠AGF=∠AGD=90°，
∴∠ADF=∠E，
又∵∠DAF=∠EAD，
∴△ADF∽△AED，
∴①正确；
∵$\frac{CF}{FD}$=$\frac{1}{3}$，CF=2，
∴FD=6，
∴CD=8，
∵CG=DG，
∴CG=DG=4，
∴FG=2，
∴②正确；
∵AF•EF=CF•FD，
即3EF=2×6，
∴EF=4，
∴AE=7，
∵△ADF∽△AED，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{AF}{AD}$，
∴AD2=AE×AF=7×3=21，
在Rt△ADG中，AG=$\sqrt{A{D}^{2}-D{G}^{2}}$=$\sqrt{21-{4}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴tan∠E=tan∠ADF=$\frac{AG}{DG}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$，
∴③错误；
作EM⊥CD于M，如图所示：
则EM∥AB，
∴△EFM∽△AFG，
∴$\frac{ME}{AG}=\frac{EF}{AF}$，
即$\frac{ME}{\sqrt{5}}=\frac{4}{3}$，
∴ME=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，
∴S△DEF=$\frac{1}{2}$FD•ME=$\frac{1}{2}$×6×$\frac{4\sqrt{5}}{3}$=4$\sqrt{5}$，
∴④正确；
故答案为：①②④．
点评 本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理、相交弦定理、三角函数、三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是③中，需要运用三角形相似、勾股定理、相交弦定理、圆周角定理才能得出结果．
高中必刷题系列答案
| A． | 1 | B． | 2 | C． | 3 | D． | 4 |
| A． | 对角线相等的四边形是矩形 | |
| B． | 对角相等有一个角是直角的四边形是矩形 | |
| C． | 有一个角是直角的四边形是矩形 | |
| D． | 内角都相等的四边形是矩形 |
如图，已知反比例函数 y1=$\frac{m}{x}$（m≠0）的图象经过点A（-2，1），一次函数y2=kx+b（k≠0）的图象经过点C（0，4）与点A，且与反比例函数的图象相交于另一点B．
如图，已知抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如；当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0，下列判断中正确的是（ ）
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx的图象经过点A（4，0）．点E是过点C（2，0）且与y轴平行的直线上的一个动点，过线段CE的中点G作DF⊥CE交二次函数的图象于D、F两点．