Question

1．如图1，两个等边△ABD，△CBD的边长均为4个单位，将△ABD沿AC方向向右平移$\sqrt{3}$个单位到△A′B′D′的位置，得到图2，则阴影部分的面积为$\frac{5}{2}\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先根据平移的性质求得GH的长，再根据勾股定理求得CG的长，根据平行线分线段成比例定理，得出CE=EF=CF=2，再根据CO的长求得MN的长，最后根据梯形EFNM的面积求得阴影部分面积．

解答 解：如图，连接NM，交A'C于O，
由平移可得，GH=$\sqrt{3}$，
又∵Rt△DCG中，CD=4，∠DCG=30°，
∴CG=2$\sqrt{3}$，
∴H为CG的中点，
又∵EF∥DB，
∴$\frac{CE}{CD}$=$\frac{EF}{DB}$=$\frac{CF}{CB}$=$\frac{1}{2}$，
∴CE=EF=CF=2，
又∵GO=HO=$\frac{1}{2}$GH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴CO=CG-OG=2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}\sqrt{3}$，
∴MO=$\frac{CO}{\sqrt{3}}$=$\frac{3}{2}$，即MN=3，
∴梯形EFNM的面积=$\frac{（EF+MN）×OH}{2}$=$\frac{（2+3）×\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}$=$\frac{5}{4}\sqrt{3}$，
∴阴影部分的面积=2×$\frac{5}{4}\sqrt{3}$=$\frac{5}{2}\sqrt{3}$．
故答案为：$\frac{5}{2}\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了等边三角形的性质以及平行线分线段成比例定理，解决问题的关键是通过作辅助线，将阴影部分分割成两个梯形进行求解．