Question

20．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点（点E不与端点A，C重合），且AE=CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO=OD，连接DE，DF，GE，GF．
（1）求证：四边形EDFG是正方形；
（2）当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）连接CD，根据等腰直角三角形的性质可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD，结合AE=CF可证出△ADE≌△CDF（SAS），根据全等三角形的性质可得出DE=DF、ADE=∠CDF，通过角的计算可得出∠EDF=90°，再根据O为EF的中点、GO=OD，即可得出GD⊥EF，且GD=2OD=EF，由此即可证出四边形EDFG是正方形；
（2）过点D作DE′⊥AC于E′，根据等腰直角三角形的性质可得出DE′的长度，从而得出2≤DE＜2$\sqrt{2}$，再根据正方形的面积公式即可得出四边形EDFG的面积的最小值．

解答 （1）证明：连接CD，如图1所示．
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴∠A=∠DCF=45°，AD=CD．
在△ADE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠A=∠DCF}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF．
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
∴△EDF为等腰直角三角形．
∵O为EF的中点，GO=OD，
∴GD⊥EF，且GD=2OD=EF，
∴四边形EDFG是正方形；
（2）解：过点D作DE′⊥AC于E′，如图2所示．
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴DE′=$\frac{1}{2}$BC=2，AB=4$\sqrt{2}$，点E′为AC的中点，
∴2≤DE＜2$\sqrt{2}$（点E与点E′重合时取等号）．
∴4≤S_{四边形EDFG}=DE²＜8．
∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4．

点评 本题考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）找出GD⊥EF且GD=EF；（2）根据正方形的面积公式找出4≤S_{四边形EDFG}＜8．