Question

5．如图，一个横截面为Rt△ABC的物体，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=1m，工人师傅要把此物体搬到墙边，先将AB边放在地面（直线l）上，再按顺时针方向绕点B翻转到△A₁BC₁的位置（BC₁在l上），最后沿射线BC₁的方向平移到△A₂B₂C₂的位置，其平移的距离为线段AC的长度（此时A₂C₂恰好靠在墙边）．
（1）请直接写出AB=2米，AC=$\sqrt{3}$米；
（2）画出在搬动此物体的整个过程中A点所经过的路径，并求出该路径的长度．
（3）设O、H分别为边AB、AC的中点，在将△ABC绕点B顺时针方向翻转到△A₁BC₁的位置这一过程中，求线段OH所扫过部分的面积．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的三边关系，30°的角所对的直角边是斜边的一半，可以直接确定AB、AC．
（2）根据要求画出路径，再用弧长公式求解路径的长度．
（3）OH扫过的面积=扇形BHH′的面积-扇形BOO′的面积，由此即可计算．

解答 解：（1）∵∠CAB=30°，BC=1米
∴AB=2米，AC=$\sqrt{3}$米．
故答案为2米，$\sqrt{3}$米．

（2）A点经过的路径如图1中所示，

∵∠ABA₁=180°-60°=120°，A₁A₂=AC=$\sqrt{3}$米
∴A点所经过的路径长=$\frac{120}{180}$•π•2+$\sqrt{3}$=$\frac{4}{3}$π+$\sqrt{3}$≈5.9（米）．

（3）如图2中，

由题意△BOH≌△BO′H′，
∴OH扫过的面积=扇形BHH′的面积-扇形BOO′的面积=$\frac{120π•H{B}^{2}}{360}$-$\frac{120π•O{B}^{2}}{360}$=$\frac{1}{4}$π．

点评 本题考查旋转变换、平移变换、勾股定理．扇形的面积公式等知识，解题的关键是熟练应用所学知识解决问题，学会把不规则图形转化为规则图形，属于中考常考题型．