Question

5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切于点E，且l∥BC．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）作∠ABC的平分线BF交AE于点F，求证：BE=EF．

Answer 1

分析 （1）如图，连接OE，利用垂径定理、圆周角、弧、弦的关系证得结论；
（2）欲证明BE=EF，只需推知∠EBF=∠EFB即可．

解答 证明：（1）连接OE．
∵直线l与⊙O相切于E，
∴OE⊥l．
∵l∥BC，
∴OE⊥BC，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，
∴∠BAE=∠CAE．
∴AE平分∠BAC；

（2）∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF．
又∵$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，
∴∠BAE=∠CBE，
∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF．
又∵∠EFB=∠BAE+∠ABF，
∴∠EBF=∠EFB，
∴BE=EF．

点评 本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角、弧、弦的关系，属于基础题，熟记与圆有关的性质即可解答．