Question

7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+$\frac{1}{4}$与y轴相交于点A，点B与点O关于点A对称．
（1）填空：点B的坐标为（0，$\frac{1}{2}$）；
（2）过点B的直线y=kx+b（其中k＜0）与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB=PC，求线段PB的长（用含k的式子表示），并判断点P是否在抛物线上，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由抛物线解析式可求得A点坐标，再利用对称可求得B点坐标；
（2）可先用k表示出C点坐标，过B作BD⊥l于点D，条件可知P点在x轴上方，设P点纵坐标为y，可表示出PD、PB的长，在Rt△PBD中，利用勾股定理可求得y，则可求出PB的长，此时可得出P点坐标，代入抛物线解析式可判断P点在抛物线上．

解答 解：（1）∵y=-x²+$\frac{1}{4}$的顶点A的坐标为（0，$\frac{1}{4}$），
∴原点O关于点A的对称点B的坐标为（0，$\frac{1}{2}$），
故答案为：（0，$\frac{1}{2}$）；

（2）∵B点坐标为（0，$\frac{1}{2}$），
∴直线解析式为y=kx+$\frac{1}{2}$，
解得：x=-$\frac{1}{2k}$．

∴OC=-$\frac{1}{2k}$．
∵PB=PC，
∴点P只能在x轴上方，
如图，过点B作BD⊥l于点D，设PB=PC=m，

则BD=OC=-$\frac{1}{2k}$，CD=OB=$\frac{1}{2}$，
∴PD=PC-CD=m-$\frac{1}{2}$，
在Rt△PBD中，由勾股定理可得PB²=PD²+BD²，即m²=（m-$\frac{1}{2}$）²+（-$\frac{1}{2k}$）²，
解得：m=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4{k}^{2}}$．
∴PB=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4{k}^{2}}$．
∴点P坐标为（-$\frac{1}{2k}$，$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4{k}^{2}}$）．
当x=-$\frac{1}{2k}$时，代入抛物线解析式可得：y=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4{k}^{2}}$，
∴点P在抛物线上．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有轴对称的性质、平行线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、二次函数的性质等．在（2）中构造直角三角形，利用勾股定理得到关于PC的长的方程是解题的关键．