Question

6．如图：已知A（a，0）、B（0，b），且a、b满足（a-2）²+|2b-4|=0．
（1）如图1，求△AOB的面积；
（2）如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD=45°，猜想线段AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；
（3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P顺时针旋转90°至PE，直线AE交y轴Q，点Q，当P点在x轴上移动时，线段BE和线段BQ中，请判断哪条线段长为定值，并求出该定值．

Answer 1

分析 （1）根据非负数的性质得到a-2=0，2b-4=0，求得a=2，b=2，得到OA=2，OB=2，于是得到结果；
（2）证明：将△AOC绕点O逆时针旋转90°得到△OBF根据已知条件得到∠BDF=180°，由∠DOC=45°，∠AOB=90°，同时代的∠BOD+∠AOC=45°，求出∠FOD=∠BOF+∠BOD=∠BOD+∠AOC=45°，推出△ODF≌△ODC，根据全等三角形的性质得到DC=DF=DB+BF=DB+DC；
（3）BQ是定值，作EF⊥OA于F，在FE上截取PF=FD，由∠BAO=∠PDF=45°，得到∠PAB=∠PD，E=135°，根据余角的性质得到∠BPA=∠PED，推出△PBA≌EPD，根据全等三角形的性质得到AP=ED，于是得到FD+ED=PF+AP．即：FE=FA，根据等腰直角三角形的性质得到结论．

解答 （1）解：∵（a-2）²+|2b-4|=0，∴a-2=0，2b-4=0，
∴a=2，b=2，
∴A（2，0）、B（0，2），
∴OA=2，OB=2，
∴△AOB的面积=$\frac{1}{2}×2×2$=2；

（2）证明：将△AOC绕点O逆时针旋转90°得到△OBF，
∵∠OAC=∠OBF=∠OBA=45°，∠DBA=90°，
∴∠BDF=180°，
∵∠DOC=45°，∠AOB=90°，
∴∠BOD+∠AOC=45°，
∴∠FOD=∠BOF+∠BOD=∠BOD+∠AOC=45°，
在△ODF与△ODC中，$\left\{\begin{array}{l}{OF=OC}\\{∠FOD=∠COD}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴：△ODF≌△ODC，∴DC=DF，DF=BD+BF，故CD=BD+AC．

（3）BQ是定值，作EF⊥OA于F，在FE上截取PF=FD，
∵∠BAO=∠PDF=45°，
∴∠PAB=∠PD，E=135°，
∴∠BPA+∠EPF=90°∠EPF+∠PED=90°，
∴∠BPA=∠PED，
在△PBA与△EPD中，$\left\{\begin{array}{l}{PF=PD}\\{∠BPA=∠PED}\\{PB=PE}\end{array}\right.$，
∴△PBA≌EPD，
∴AP=ED，
∴FD+ED=PF+AP，
即：FE=FA，
∴∠FEA=∠FAE=45°，
∴∠QAO=∠EAF=∠OQA=45°，
∴OA=OQ=2，
∴BQ=4．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，三角形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．