Question

3．如图，AC∥BD，E为CD的中点，AE⊥BE
（1）求证：AE平分∠BAC，BE平分∠ABD；
（2）线段AB、AC、BD有怎样的数量关系？请写出你的结论并证明．

Answer 1

分析 （1）先判定△CAE≌△DFE（AAS），得出AC=DF，AE=FE，再判定△AEB≌△FEB（SAS），得到∠BAE=∠F，∠ABE=∠FBE，再根据∠CAE=∠BAE，即可得出AE平分∠BAC，BE平分∠ABD；
（2）根据全等三角形的对应边相等，可得AB=BF，即AB=BD+DF，再根据（1）可得，DF=AC，即可得到AB=BD+AC．

解答 解：（1）如图所示，延长AE交BD的延长线于F，
∵AC∥BD，
∴∠CAE=∠DFE，
∵E为CD的中点，
∴CE=DE，
在△CAE和△DFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠DFE}\\{∠AEC=∠FED}\\{CE=DE}\end{array}\right.$，
∴△CAE≌△DFE（AAS），
∴AC=DF，AE=FE，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB=∠FEB=90°，
在△AEB和△FEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=FE}\\{∠AEB=∠FEB}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△FEB（SAS），
∴∠BAE=∠F，∠ABE=∠FBE，
∴∠CAE=∠BAE，
∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABD；

（2）线段AB、AC、BD的数量关系为：AB=BD+AC．
证明：由（1）可得，△AEB≌△FEB，
∴AB=BF，
即AB=BD+DF，
由（1）可得，DF=AC，
∴AB=BD+AC．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的性质进行求解．