Question

8．已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于（x₁，0）、（x₂，0）两点，且0＜x₁＜1，1＜x₂＜5与y轴交于（0，-2），下列结论：①2a+b＞1；②a+b＜2；③3a+b＞0；④a＜-1，其中正确结论的个数为（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答 解：如图：0＜x₁＜1，1＜x₂＜5，并且图象与y轴相交于点（0，-2），
可知该抛物线开口向下即a＜0，c=-2，
①当x=2时，y=4a+2b+c＞0，即4a+2b＞-c；
∵c=-2，
∴4a+2b＞2，
∴2a+b＞1，
故①正确；

②∵当x=1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
∵c=-2，
∴a+b＞2，
故②错误；

③∵0＜x₁＜1，1＜x₂＜5，
∴1＜x₁+x₂＜6，
又∵x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，
∴1＜-$\frac{b}{a}$＜6，
∴-3a＜3a+b＜-2a．
∴3a+b＞0，
故③正确；

⑤∵0＜x₁x₂＜6，x₁x₂=$\frac{c}{a}$＜6，
又∵c=-2，
∴a＜-$\frac{1}{3}$．
故⑤错误．
故选B．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数图象与系数的关系，根据图象找到所需的条件，同时利用根与系数的关系及不等式的性质是解题的基本思路．