Question

15．如图，是抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）图象的一部分．已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（-1，0）．有下列结论：
①abc＞0；
②4a-2b+c＜0；
③4a+b=0；
④抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；
⑤点（-3，y₁），（6，y₂）都在抛物线上，则有y₁＜y₂；
⑥am²+bm＞4a+2b．
则结论正确的是①③④⑥．（填序号）

Answer 1

分析 ①先根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号，再根据有理数乘法法则即可判断；
②把x=-2代入函数关系式，结合图象即可判断；
③根据对称轴求出b=-4a，即可判断；
④根据抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，即可判断；
⑤先求出点（-3，y₁）关于直线x=2的对称点的坐标，根据抛物线的增减性即可判断y₁和y₂的大小；
⑥根据抛物线的增减性进行判断．

解答 解：①∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，
∴c＜0，
∵对称轴是直线x=2，
∴-$\frac{b}{2a}$=2，
∴b=-4a＜0，
∴abc＞0．
故①正确；

②把x=-2代入y=ax²+bx+c
得：y=4a-2b+c，
由图象可知，当x=-2时，y＞0，
即4a-2b+c＞0．
故②错误；

③∵b=-4a，
∴4a+b=0．
故③正确；

④∵抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（-1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）．
故④正确；

⑤∵（-3，y₁）关于直线x=2的对称点的坐标是（7，y₁），
又∵当x＞2时，y随x的增大而增大，7＞6，
∴y₁＞y₂．
故⑤错误；

⑥当x=2时，y=4a+2b+c为最小值，则当m≠2时，4a+2b+c＜am²+bm+c，即当m≠2时，4a+2b＜am²+bm，
故⑥正确．
综上所述，正确的结论是①③④⑥．
故答案是：①③④⑥．

点评 此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线的开口方向决定；b的符号由对称轴的位置与a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴有交点时，两交点关于对称轴对称，此外还要根据图象判断x=-2时对应函数值的正负及二次函数的增减性．