如图.已知二次函数y=x2+bx+4与x轴交于点B(4.0).与y轴交于点A.O为坐标原点.P是二次函数y=x2+bx+4的图象上一个动点.点P的横坐标是m.且m＞4.过点P作PM⊥x轴.PM交直线AB于M．(1)求二次函数的解析式,(2)若以AB为直径的⊙N恰好与直线PM相切.求此时点P的坐标,(3)在点P的运动过程中.△APM能否为等腰三角形?若能.求出点M的坐标,� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．

如图，已知二次函数y=x²+bx+4与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点A，O为坐标原点，P是二次函数y=x²+bx+4的图象上一个动点，点P的横坐标是m，且m＞4，过点P作PM⊥x轴，PM交直线AB于M．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若以AB为直径的⊙N恰好与直线PM相切，求此时点P的坐标；
（3）在点P的运动过程中，△APM能否为等腰三角形？若能，求出点M的坐标；若不能，请说明理由．

分析（1）根据待定系数法，可得二次函数的解析式；
（2）先求出B点坐标N点坐标和⊙N的半径，根据⊙N恰好与直线PM相切，可得N到PM的长为半径，可得P点的横坐标，再根据函数与自变量的对应关系，可得答案；
（3）分类讨论：①当PA=PM时，②当AP=AM时，③当MA=MP时，根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．

解答解：（1）将B（4，0）代入y=x²+bx+4，得
0=16+4b+4，
解得：b=-5，
故y=x²-5x+4；
（2）当x=0时，y=4，即A（0，4）．
又B（4，0），
AB的中点N（2，2），
AB=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
以AB为直径的⊙N半r=$\frac{AB}{2}$=2$\sqrt{2}$．
以AB为直径的⊙N恰好与直线PM相切，得
P点的横坐标为 m=2+2$\sqrt{2}$．
P点的纵坐标：m²-5m+4=（m-2）²-m=（2$\sqrt{2}$）²-（2+2$\sqrt{2}$）=6-2$\sqrt{2}$；
P（2+2$\sqrt{2}$，6-2$\sqrt{2}$），
以AB为直径的⊙N恰好与直线PM相切，此时点P的坐标（2+2$\sqrt{2}$，6-2$\sqrt{2}$）．
（3）AB的解析式为y=-x+4，点M的坐标是（m，4-m），P（m，m²-5m+4）
PM²=m⁴-12m³+36m²，AP²=m⁴-10m³+26m²，AM²=2m²，
①当PA=PM时；m⁴-10m³+26m²=m⁴-12m³+36m²，化简，得
2m³-10m²=0，解得m=5，m=0（舍）；当m=5时，y=4-5=-1，
∴M（5，-1）．
②当AP=AM时，m⁴-10m³+26m²=2m²，化简，得
m⁴-10m³+24m²=0解得m=6，m=0（不符合题意，舍）m=4（不符合题意，舍）；
当m=6时，4-6=-2，
∴M（6，-2）．
③当MA=MP时，2m²=m⁴-12m³+36m²，化简，得m⁴-12m³+34m²=0
解得m=4+$\sqrt{2}$，m=0（不符合题意，舍），m=4-$\sqrt{2}$（不符合题意，舍）；
当m=4+$\sqrt{2}$0时，4-4-$\sqrt{2}$=-$\sqrt{2}$，
∴M（4+$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）．
综上所述：所求点M的坐标是（5，-1）或（6，-2）或（4+$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）．