Question

【题目】已知一元二次方程：

①若方程两根为-1和2，则；

②若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；

③若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；

④若是方程的一个根，则一定有成立.

其中正确的是__________．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

利用根与系数的关系判断①；当时，举例计算判别式的值可判断②；由判别式可判断③；将x=m代入方程得am2=-（bm+c），将am2=-（bm+c）代入（2am+b）2变形后的代数式化简即可判断④．

解：若方程两根为-1和2，则，即c=-2a，2a+c=2a-2a=0，故①正确；

若b＞a+c，举一个例子如a=-1,b=-2,c=-4时，则△=b2-4ac=4-16=-12<0,

∴此时一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，故②错误；

若b=2a+3c，则=，

因为，所以，

一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故③正确．

若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，把m代入方程得am2+bm+c=0，

即am2=-（bm+c），
∵（2am+b）2=4a2m2+4abm+b2

=4a[-（bm+c）]+4abm+b2
=-4abm-4ac+4abm +b2
=b2-4ac．

故④正确；

故答案为：①③④