Question

【题目】如图，直线过轴上一点，且与抛物线相交于两点，点坐标为.

（1）求直线和抛物线的函数解析式.

（2）若抛物线上有一点使得，求点坐标.

（3）在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）直线的解析式为；抛物线解析式为；（2）或.

（3），，，.

【解析】

(1)利用待定系数法，设直线的解析式为，把，代入后求出k,b的值即可得出的解析式；将代入求出a即可得出抛物线解析式；

（2)先联立方程组得到直线l与抛物线的交点坐标，然后求出三角形BOC的面积，设，根据题意列出方程求解即可得出点D坐标；

（3）分类讨论为等腰三角形的三种情况，可得出点P坐标.

解：（1）设直线的解析式为，把，代入得，

解得，

所以直线的解析式为；

把代入得，

所以抛物线解析式为；

（2）依题意得：，

解得或，

即直线与抛物线的两个交点的坐标是、.

.

设，

∵，

∴，

解得或（舍去），

∴或.

（3）∵，

∴OC=

①当OP=OC时，OP=,

∴,;

②当OC=PC时，

点C在OP的垂直平分线上，

∴OP=4

∴

③当PC=PO时，

点P在OC的垂直平分线上，

易得直线OC:y=-2x

设OC中点为点D，则D(-1,2),

易得直线PD:

令y=0,得x=-5

∴

综上所述，符合条件的点的坐标为：，，，.