Question

已知：∠AOD=160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．
（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当OB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小；

（2）如图2，若∠BOC=20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时求∠MON的大小；

（3）在（2）的条件下，若∠AOB=10°，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM：∠DON=2：3，求t的值．

Answer 1

分析：（1）因为∠AOD=160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，则∠MOB=

1

2

∠AOB，∠BON=

1

2

∠BOD．然后根据关系转化求出角的度数；
（2）利用各角的关系求解：∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC=

1

2

∠AOC+

1

2

∠BOD-∠BOC=

1

2

（∠AOC+∠BOD）-∠BOC；
（3）由题意得∠AOM=

1

2

(10°+2t+20°)，∠DON=

1

2

(160°-10°-2t)，由此列出方程求解即可．

解答：解：（1）因为∠AOD=160°OM平分∠AOB，ON平分∠BOD
所以∠MOB=

1

2

∠AOB，∠BON=

1

2

∠BOD
即∠MON=∠MOB+∠BON=

1

2

∠AOB+

1

2

∠BOD=

1

2

（∠AOB+∠BOD）
=

1

2

∠AOD=80°；

（2）因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOD
所以∠MOC=

1

2

∠AOC，∠BON=

1

2

∠BOD
即∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC=

1

2

∠AOC+

1

2

∠BOD-∠BOC
=

1

2

（∠AOC+∠BOD）-∠BOC
=

1

2

×180-20=70°；

（3）∵∠AOM=

1

2

(10°+2t+20°)，∠DON=

1

2

(160°-10°-2t)，
又∠AOM：∠DON=2：3，
∴3（30°+2t）=2（150°-2t）
得t=21．
答：t为21秒．

点评：根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化，然后根据已知条件求解．