Question

5．如图1，在平面直角坐标系中有一个Rt△OAC，其中∠ACO=90°，∠CAO=30°，OC=3，将该三角形沿直线AC翻折得到△BAC．
（1）点A的坐标为（3，3$\sqrt{3}$），点B的坐标为（6，0），OA边所在直线的解析式为y=$\sqrt{3}$x；
（2）在图1中，一动点P从点O出发，沿折线O→A→B的方向以每秒2个单位的速度向B运动，设运动时间为t（秒）．请求出当t为何值时，△ACP的面积为△AOB面积的$\frac{1}{3}$；
（3）如图2，固定△OAC，将△BAC绕点C逆时针旋转，旋转后得到△A′CB′，设A′C所在直线与OA所在直线的交点为E，请问在旋转过程中是否存在点E，使△ACE为等腰三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理和折叠的性质易求得OA=AB=6，OB=6，AC=3$\sqrt{3}$，得到点A，B，的坐标，由点A，O的坐标用待定系数法求出OA解析式；
（2）点P在线段OA上运动，即0≤t≤3，以AC为底，PM=3-t为高，利用△ACP的面积为△AOB面积的$\frac{1}{3}$，建立方程求出t即可；
（3）设出点E（m，$\sqrt{3}$m）的坐标，分AC=AE．AC=CE，AE=CE三种情况建立方程求出m，即可求得符合条件的E点坐标．

解答 解：（1）∵∠ACO=90°，∠CAO=30°，OC=3
∴OA=6，AC=3$\sqrt{3}$，
∴A（3，3$\sqrt{3}$），
设直线OA解析式为y=kx，
∴3$\sqrt{3}$=3k，
∴k=$\sqrt{3}$，
∴直线OA解析式为y=$\sqrt{3}$x，
由对折有，OB=6，
∴B（6，0），
故答案为A（3，3$\sqrt{3}$），B（6，0），直线OA解析式为y=$\sqrt{3}$x，
（2）由题意知：OA=AB=6，OC=BC=3，OB=6；
∵AC⊥OB，AC=3$\sqrt{3}$，
∴S△AOB=$\frac{1}{2}$OB×AC=$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{3}$S△AOB=3$\sqrt{3}$
∵△ACP的面积为△AOB面积的$\frac{1}{3}$，
∴点P只能在OA上，过点P作PM⊥AC，
∵OP=2t，
∴AP=6-2t，
∵0C=3，OA=6，
∵PM∥OC，
∴$\frac{AP}{AO}=\frac{PM}{OC}$，
∴$\frac{6-2t}{6}=\frac{PM}{3}$，
∴PM=3-t，
∴S_△ACP=$\frac{1}{2}$AC×PM=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×（3-t），
∵△ACP的面积为△AOB面积的$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×（3-t）=3$\sqrt{3}$，
∴t=1，
（3）∵点E在直线OA上，设点E（m，$\sqrt{3}$m），
∵A（3，3$\sqrt{3}$），C（3，0），
∴AC=3$\sqrt{3}$，
∴AE=$\sqrt{（m-3）^{2}+（\sqrt{3}m-3\sqrt{3}）^{2}}$=2|m-3|，
CE=$\sqrt{（m-3）^{2}+（\sqrt{3}m）^{2}}$=$\sqrt{4{m}^{2}-6m+9}$，
∵△ACE为等腰三角形，
①当AC=AE时，
∴2|m-3|=3$\sqrt{3}$，
∴m=3±$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴E₁（3+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，3$\sqrt{3}$+$\frac{9}{2}$），E₂（3-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，3$\sqrt{3}$-$\frac{9}{2}$）
②当AC=CE时，
∴$\sqrt{4{m}^{2}-6m+9}$=3$\sqrt{3}$，
∴m=3（舍）或m=-$\frac{3}{2}$，
∴E₃（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
③当AE=CE时，
∴2|m-3|=$\sqrt{4{m}^{2}-6m+9}$，
∴m=$\frac{3}{2}$，
∴E4（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
∴存在点E，使△ACE为等腰三角形，满足条件的点E₁（3+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，3$\sqrt{3}$+$\frac{9}{2}$），E₂（3-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，3$\sqrt{3}$-$\frac{9}{2}$），E₃（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），E4（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了锐角三角函数，平面内，两点间的距离公式，三角形的面积计算方法，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，继而本题的关键是用时间t表示出线段，难点是分三种情况求点E的坐标，