题目内容
给定直角三角形ABC，BC=a，CA=b，AB=c，∠ACB=90°，在BC边上取异于两端点的点P，过P作AB边的垂线，垂足为R，交AC的延长线于Q．（1）设PC=x，△PQC，△PBR的面积分别为S1、S2，试用a、b、c表示S1+S2
（2）当点P在BC边上变动时，求S1+S2的最小值及此时x的值．
考点：相似形综合题
专题：压轴题
分析：（1）根据相似三角形△ABC∽△PQC的对应边成比例知
=
，由此求得QC的值；然后根据直角三角形的面积公式知S1=
QC•PC=
x2；同理，由△ABC∽△PBR的对应边成比例知
=
=
，由此可以求得BR=
，RP=
，所以S2=
BR•RP=
；
（2）将（1）中的S1+S2=
x2+
=
[(b2+c2)x2-2ab2x+a2b2]利用配方法转化为S1+S2═
(x-
)2+
；然后利用二次函数的最值的求法解答该题．
| BC |
| CA |
| QC |
| CP |
| 1 |
| 2 |
| b |
| 2a |
| BC |
| BR |
| CA |
| RP |
| AB |
| BP |
| a(a-x) |
| c |
| b(a-x) |
| c |
| 1 |
| 2 |
| ab(a-x)2 |
| 2c2 |
（2）将（1）中的S1+S2=
| b |
| 2a |
| ab(a-x)2 |
| 2c2 |
| a |
| 2bc2 |
| a(b2+c2) |
| 2bc2 |
| ab2 |
| b2+c2 |
| a3b |
| 2(b2+c2) |
解答：解：（1）∵△ABC∽△PQC，
∴
=
，
∴QC=
x，
∴S1=
QC•PC=
x2；
又∵△ABC∽△PBR，
∴
=
=
，
∴
=
=
，
∴BR=
，RP=
，
∴S2=
BR•RP=
；
∴S1+S2=
x2+
=
[(b2+c2)x2-2ab2x+a2b2]；
（2）由（1），得
S1+S2=
x2+
，
=
[(b2+c2)x2-2ab2x+a2b2]，
=
(x-
)2+
；
∵0＜
a＜a，
∴当x=
时，S1+S2取得最小值
．
∴
| BC |
| CA |
| QC |
| CP |
∴QC=
| a |
| b |
∴S1=
| 1 |
| 2 |
| b |
| 2a |
又∵△ABC∽△PBR，
∴
| BC |
| BR |
| CA |
| RP |
| AB |
| BP |
∴
| a |
| BR |
| b |
| RP |
| c |
| a-x |
∴BR=
| a(a-x) |
| c |
| b(a-x) |
| c |
∴S2=
| 1 |
| 2 |
| ab(a-x)2 |
| 2c2 |
∴S1+S2=
| b |
| 2a |
| ab(a-x)2 |
| 2c2 |
| a |
| 2bc2 |
（2）由（1），得
S1+S2=
| b |
| 2a |
| ab(a-x)2 |
| 2c2 |
=
| a |
| 2bc2 |
=
| a(b2+c2) |
| 2bc2 |
| ab2 |
| b2+c2 |
| a3b |
| 2(b2+c2) |
∵0＜
| b2 |
| b2+c2 |
∴当x=
| ab2 |
| b2+c2 |
| a3b |
| 2(b2+c2) |
点评：本题考查了相似的综合题．解题的关键是求本题中的二次函数的最值时，注意
的取值范围．
| ab2 |
| b2+c2 |
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