Question

10．观察发现：直线l在绕点O旋转的过程中，①以E、F为端点的线段中，哪些线段的长度发生了变化？
②在旋转的过程中，OE与OF还相等吗？还有以E、F为端点许且具有相等关系的线段吗？
③在旋转的过程中，平行四边形被分成的两部分的面积和周长相等吗？能证明吗？

Answer 1

分析 ①观察图形得到线段OE、OF、AE、CF、DE、BF的长度发生了变化；
②在旋转的过程中，OE与OF相等；以E、F为端点的线段中还具有相等关系的线段有：AE=CF，DE=BF；
③利用平行四边形的性质得OA=OC，AD=BC，AB=CD，AD∥BC，则∠EAO=∠FCO，于是可证明△AEO≌△CFO，所以AE=CF，S_△AEO=S_△COF，则DE=BF，易得四边形ABFE和四边形CDEF的周长相等，它们的面积相等．

解答 解：①以E、F为端点的线段中，线段OE、OF、AE、CF、DE、BF的长度发生了变化；
②在旋转的过程中，OE与OF相等；以E、F为端点的线段中还具有相等关系的线段有：AE=CF，DE=BF；
③在旋转的过程中，平行四边形被分成的两部分的面积和周长相等．
证明如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，AD=BC，AB=CD，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AEO和△CFO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}\\{AO=CO}\\{∠AOE=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△CFO，
∴AE=CF，S_△AEO=S_△COF，
∴DE=BF，
∴四边形ABFE和四边形CDEF的周长相等，它们的面积相等．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的性质．