Question

9．我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，
如：$\frac{x+1}{x-1}$=$\frac{x-1+2}{x-1}$=$\frac{x-1}{x-1}$+$\frac{2}{x-1}$=1+$\frac{2}{x-1}$；
$\frac{2x-3}{x+1}$=$\frac{2x+2-5}{x+1}$=$\frac{2x+2}{x+1}$+$\frac{-5}{x+1}$=2+（-$\frac{5}{x-1}$）．
（1）下列分式中，属于真分式的是：③（填序号）；
①$\frac{a-2}{a+1}$　　     ②$\frac{{x}^{2}}{x+1}$        ③$\frac{2b}{{b}^{2}+3}$　    　④$\frac{{a}^{2}+3}{{a}^{2}-1}$
（2）将假分式$\frac{4a+3}{2a-1}$化成整式与真分式的和的形式为：$\frac{4a+3}{2a-1}$=2+$\frac{5}{2a-1}$，若假分式$\frac{4a+3}{2a-1}$的值为正整数，则整数a的值为-2、1或3；
（3）将假分式$\frac{{a}^{2}+3}{a-1}$ 化成整式与真分式的和的形式：$\frac{{a}^{2}+3}{a-1}$=a+1+$\frac{4}{a-1}$．

Answer 1

分析 （1）根据题意可以判断题目中的式子哪些是真分式，哪些是假分式；
（2）根据题意可以将题目中的式子写出整式与真分式的和的形式；
（3）根据题意可以将题目中的式子化简变为整式与真分式的和的形式．

解答 解：（1）根据题意可得，
$\frac{a-2}{a+1}$、$\frac{{x}^{2}}{x+1}$、$\frac{{a}^{2}+3}{{a}^{2}-1}$都是假分式，$\frac{2b}{{b}^{2}+3}$是真分式，
故答案为：③；
（2）由题意可得，
$\frac{4a+3}{2a-1}$=$\frac{4a-2+5}{2a-1}=2+\frac{5}{2a-1}$，
若假分式$\frac{4a+3}{2a-1}$的值为正整数，
则$\frac{5}{2a-1}=-1$或2a-1=1或2a-1=5，
解得，a=-2或a=1或a=3，
故答案为：2、$\frac{5}{2a-1}$，-2、1或3；
（3）$\frac{{a}^{2}+3}{a-1}$=$\frac{{a}^{2}-1+4}{a-1}=\frac{{a}^{2}-1}{a-1}+\frac{4}{a-1}=a+1+\frac{4}{a-1}$，
故答案为：a+1+$\frac{4}{a-1}$．

点评 本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答问题．