Question

4．已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．试探究下列问题：
（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”，不需要证明）
（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；
（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和EF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）只要证明△ADF≌△DCE（SAS），即可证得AF=DE，∠DAF=∠CDE，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可证得AF⊥DE；
（2）只要证明△ADF≌△DCE（SAS），即可证得AF=DE，∠E=∠F，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可证得AF⊥DE；
（3）首先四边形MNPQ是菱形，再证明∠HQG=90°，即可证得四边形MNPQ是正方形．

解答 解：（1）上述结论①，②仍然成立，
理由：如图1中，

∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，
在△ADF和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=CE}\\{∠ADC=∠BCD=90°}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，
∵∠ADG+∠EDC=90°，
∴∠ADG+∠DAF=90°，
∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；
∴AF=DE，AF⊥DE．

（2）上述结论①，②仍然成立，
理由：如图2中，

∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，
在△ADF和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=CE}\\{∠ADC=∠BCD=90°}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴AF=DE，∠CDE=∠DAF，
∵∠ADG+∠EDC=90°，
∴∠ADG+∠DAF=90°，
∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；
∴AF=DE，AF⊥DE．

（3）四边形MNPQ是正方形．
理由：如图3中，设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，

∵点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，
∴MQ=PN=$\frac{1}{2}$DE，PQ=MN=$\frac{1}{2}$AF，MQ∥DE，PQ∥AF，
∴四边形OHQG是平行四边形，
∵AF=DE，
∴MQ=PQ=PN=MN，
∴四边形MNPQ是菱形，
∵AF⊥DE，
∴∠AOD=90°，
∴∠HQG=∠AOD=90°，
∴四边形MNPQ是正方形．

点评 本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．