Question

2．已知x₁、x₂是方程3x²+1=4x的两根，不解方程，则$\frac{{x}_{2}}{{{x}_{1}}^{2}}$+$\frac{{x}_{1}}{{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{28}{3}$．

Answer 1

分析 分析：先将方程化为3x^2-4x+1=0，根据根与系数的关系得到x₁+x₂=$\frac{4}{3}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{3}$，将代数式变形得到$\frac{{x}_{2}}{{{x}_{1}}^{2}}$+$\frac{{x}_{1}}{{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{{{x}_{2}}^{3}+{{x}_{1}}^{3}}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-{3x}_{1}{x}_{2}]}{（{x}_{1}{x}_{2}）^{2}}$，然后分别利用整体代入的方法计算即可．

解答 解：∵x₁、x₂是方程3x²+1=4x的两根，
∴x₁+x₂=$\frac{4}{3}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{{x}_{2}}{{{x}_{1}}^{2}}$+$\frac{{x}_{1}}{{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{{{x}_{2}}^{3}+{{x}_{1}}^{3}}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-{3x}_{1}{x}_{2}]}{（{x}_{1}{x}_{2}）^{2}}$=$\frac{\frac{4}{3}×[（\frac{4}{3}）^{2}-3×\frac{1}{3}]}{（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{28}{3}$．
故填：$\frac{28}{3}$

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．