Question

20．已知方程x²-x+1-m=0的两根α，β满足|α|+|β|≤5，试求整数m的值．

Answer 1

分析 先计算两根和与两根积，计算α²+β²的值，再将所给的式子两边平方，化成α²+2|αβ|+β²≤25，代入分两种情况讨论，分别求出m的取值，还要根据判别式列不等式计算，最后取整数．

解答 解：由根与系数的关系得：α+β=1，αβ=1-m，
α²+β²=（α+β）²-2αβ=1-2×（1-m）=2m-1，
|α|+|β|≤5，
两边平方得：α²+2|αβ|+β²≤25，
2m-1+2|1-m|≤25，
①当m≤1时，2m-1+2-2m≤25，
1≤25，成立，
②当m＞1时，2m-1+2m-2≤25，
m≤7，
即1＜m≤7，
由①②得：m≤7，
由△=（-1）²-4×1×（1-m）≥0，
m≥$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{3}{4}$≤m≤7，
∵m是整数，
∴m可以是1，2，3，4，5，6，7．

点评 本题是利用根与系数的关系，不解方程求关于根的式子的值；此类题的解题思路为：①先根据方程表示出两根和与两根积；②把所给的式了进行变形，因为是绝对值，所以两边平方；要注意不改变原式的值；③考虑根的判别式的情况，本题容易忽略这一环节．