Question

如图，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F．某数学兴趣小组在研究这个图形时得到如下结论：
（1）当

AF

AD

=

1

2

时，

AE

AC

=

1

3

；
（2）当

AF

AD

=

1

3

时，

AE

AC

=

1

5

；
（3）当

AF

AD

=

1

4

时，

AE

AC

=

1

7

；
…
猜想：当

AF

AD

=

1

n+1

时，

AE

AC

=？并说明理由．

Answer 1

考点：平行线分线段成比例,三角形中位线定理

专题：

分析：如图，作辅助线；证明

AE

AG

=

AF

AD

=

1

n+1

，得到EG=nAE；证明EG=CG，AC=（2n+1）AE，即可解决问题．

解答：解：猜想：当

AF

AD

=

1

n+1

时，

AE

AC

=

1

2n+1

；理由如下：
如图，过点D作DG∥BE，交AC与点G；
则

AE

AG

=

AF

AD

=

1

n+1

，
∴

AE

EG

=

1

n

，EG=nAE；
∵AD是△ABC的中线，
∴EG=CG，AC=（2n+1）AE，
∴

AE

AC

=

1

2n+1

．

点评：该题主要考查了平行线分线断成比例定理等几何知识点的性质及其应用问题；解题的关键是作辅助线，构造平行线，灵活运用平行线分线断成比例定理来分析、判断、推理或解答．