Question

已知E、F是Rt△ABC斜边AB的三等分点，AE=EF=FB，且CE=4，CF=3，求斜边AB的长．

Answer 1

考点：勾股定理

专题：

分析：延长CF到G，使FG=CF=3，连接EG并延长交AC与H，作DF⊥HG，由SAS定理得出△EFG≌△BFC，故EG=BC，∠G=∠BCF，同理可得△AHE≌△FDE，DF=AH，由平行线分线段成比例可知，HC=2DF，BC=3HE，设DF=AH=a，ED=EH=b，则HC=2a，EG=BC=3b，则DG=3b-b=2b，在Rt△CHE和Rt△FDG中根据勾股定理可知（2a）²+b²=4²①，（2b）²+a²=3²②，两式相加可得出EF的长，进而得出结论．

解答：解：延长CF到G，使FG=CF=3，连接EG并延长交AC与H，作DF⊥HG，
在△EFG与△BFC中，
∵

EF=FB ∠EFG=∠CFB CF=FG

∴△EFG≌△BFC（SAS），
∴EG=BC，∠G=∠BCF，
∴GH∥BC，
∴GH⊥AC，
∴DF∥AC．
同理可得△AHE≌△FDE，
∴DF=AH，
由平行线分线段成比例可知，HC=2DF，BC=3HE，
设DF=AH=a，ED=EH=b，则HC=2a，EG=BC=3b，
∴DG=3b-b=2b，
在Rt△CHE和Rt△FDG中，（2a）²+b²=4²①，（2b）²+a²=3²②，
①+②得，a²+b²=5，即EF²=5，解得EF=

5

，
∴AB=3EF=3

5

．

点评：本题考查的是勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．