Question

如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别是边AC、BD的中点．
（1）求证：MN⊥BD；
（2）当∠BCA=15°，AC=10cm，OB=OM时，求MN的长．

Answer 1

分析：（1）连接BM、DM，根据直角三角形斜边上 的中线的性质求出BM=DM，根据等腰三角形性质求出即可；
（2）根据等腰三角形性质和三角形外角性质求出∠BMN=30°，求出∠NBM=30°，求BM，根据直角三角形的性质求出即可．

解答：（1）证明：连接BM、DM．
∵∠ABC=∠ADC=90°，点M、点N分别是边AC、想BD的中点，
∴BM=DM=

1

2

AC，
∵N是BD的中点，
∴MN是BD的垂直平分线，
∴MN⊥BD．

（2）解：∵∠BCA=15°，BM=CM=

1

2

AC，
∴∠BCA=∠CBM=15°，
∴∠BMA=30°，
∵OB=OM，
∴∠OBM=∠BMA=30°，
∵AC=10，BM=

1

2

AC，
∴BM=5，
在Rt△BMN中，∠BNM=90°，∠NBM=30°，
∴MN=

1

2

BM=2.5，
答：MN的长是2.5．

点评：本题主要考查对三角形的外角性质，直角三角形斜边上中线的性质，含30度角的直角三角形性质，等腰三角形性质等知识点的理解和掌握，能求出∠MBN和BM的长是解此题的关键．