Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线：的对称轴是轴，过点作一直线与抛物线相交于，两点，过点作轴的垂线与直线相交于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）判断点是否在直线上，并说明理由；

（3）若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切．过抛物线上的任意一点（除顶点外）作该抛物线的切线，分别交直线和直线于点，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）在，见解析；（3）-8

【解析】

（1）由抛物线的对称轴是y轴可列式求出k，即可得到结果；

（2）过的直线与抛物线交于，两点，设直线的解析式为将代入，得，可判断出该方程有两个不相等的实数根，，设，，设出直线的解析式为，设，，，计算可得，即可求出A的坐标，进行判断即可；

（3）根据题意可设直线解析式，依题意得，得到，可求出切线的解析式为，得到，由勾股定理得，代入即可求解；

解：（1）∵抛物线的对称轴是轴，

∴且，

∴，

解得，

∴抛物线的解析式为．

（2）点在直线上．

理由如下：∵过的直线与抛物线交于，两点，

∴直线与轴不垂直．

设直线的解析式为，

将代入，得，

∴，

∴该方程有两个不相等的实数根，，

不妨设，，

∴直线的解析式为．

设．

∵轴交直线于点，

∴，

∴．

又方程的解为，

∴，

∴，

即点的纵坐标为－2，

∴点在直线上．

（3）∵切线不过抛物线的顶点，

∴设切线的解析式为．

将代入，得，

依题意得，

即，

∴，

∴切线的解析式为．

当时，，∴．·

当时，，∴．

∵，

∴，

由勾股定理得，

∴

．