Question

17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B的坐标是（m，-4），连接AO，AO=5，sin∠AOC=$\frac{3}{5}$．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OB，求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）过点A作AE⊥x轴于点E，设反比例函数解析式为y=$\frac{k}{x}$．通过解直角三角形求出线段AE、OE的长度，即求出点A的坐标，再由点A的坐标利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）由点B在反比例函数图象上可求出点B的坐标，设直线AB的解析式为y=ax+b，由点A、B的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式，令该解析式中y=0即可求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：（1）过点A作AE⊥x轴于点E，如图所示．

设反比例函数解析式为y=$\frac{k}{x}$．
∵AE⊥x轴，
∴∠AEO=90°．
在Rt△AEO中，AO=5，sin∠AOC=$\frac{3}{5}$，∠AEO=90°，
∴AE=AO•sin∠AOC=3，OE=$\sqrt{A{O}^{2}-A{E}^{2}}$=4，
∴点A的坐标为（-4，3）．
∵点A（-4，3）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴3=$\frac{k}{-4}$，解得：k=-12．
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{12}{x}$．
（2）∵点B（m，-4）在反比例函数y=-$\frac{12}{x}$的图象上，
∴-4=-$\frac{12}{m}$，解得：m=3，
∴点B的坐标为（3，-4）．
设直线AB的解析式为y=ax+b，
将点A（-4，3）、点B（3，-4）代入y=ax+b中得：
$\left\{\begin{array}{l}{3=-4a+b}\\{-4=3a+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴一次函数解析式为y=-x-1．
令一次函数y=-x-1中y=0，则0=-x-1，
解得：x=-1，即点C的坐标为（-1，0）．
S_△AOB=$\frac{1}{2}$OC•（y_A-y_B）=$\frac{1}{2}$×1×[3-（-4）]=$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）求出点A的坐标；（2）求出直线AB的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．