Question

1．如图，平面直角坐标系中，点A的坐标是（-4，4），点B的坐标是（2，5）．
（1）写出点A关于x轴对称的对称点A′的坐标；
（2）求出过A′，B两点直线的一次函数的解析式；
（3）在x轴上有一动点P，要使PA+PB最小，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据点关于x轴对称的对称点的特征即可得到A′的坐标为（-4，-4）；
（2）设过A′，B两点直线的一次函数的解析式为y=kx+b，列方程组即可得到过A′，B两点直线的一次函数的解析式为：y=$\frac{3}{2}$x+2；
（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，则点P即为所求点；由直线A′B的函数解析式，再把y=0代入即可得．

解答 解：（1）∵点A的坐标是（-4，4），
∴点A关于x轴对称的对称点A′的坐标为（-4，-4）；

（2）设过A′，B两点直线的一次函数的解析式为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4=-4k+b}\\{5=2k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴过A′，B两点直线的一次函数的解析式为：y=$\frac{3}{2}$x+2；

（3）作点A关于x轴的对称点A′（-4，-4），连接A′B交x轴于P，
∵直线A′B的函数解析式为y=$\frac{3}{2}$x+2，
把P点的坐标（n，0）代入解析式可得n=-$\frac{4}{3}$．
∴点P的坐标是（-$\frac{4}{3}$，0）．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题，待定系数法求一次函数的解析式，关于x轴，y轴对称的点的坐标，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．