Question

19．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P为BC边上一个动点，连接PA、PD，则△PAD周长的最小值是2$\sqrt{17}$+2．

Answer 1

分析 延长AB到A′，使得A′B=AB，连接A′D交BC于P，此时PA+PD最小，△PAD周长的最小值为A′D+AD．

解答 解：延长AB到A′，使得A′B=AB，连接A′D交BC于P，此时PA+PD最小，
作DE⊥BC，
∴四边形ABED是矩形，
∴AB=DE，AD=BE，
∵AD=2，BC=DC=5，
∴CE=BC-BE=3，
∴DE=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵AA′=2AB=8，
∴A′D=$\sqrt{{8}^{2+}{2}^{2}}$=2$\sqrt{17}$，
∴△PAD周长的最小值为A′D+AD=2$\sqrt{17}$+2．
故答案为：2$\sqrt{17}$+2．

点评 此题主要考查了利用轴对称求最短路线问题，此题综合性较强，考查了梯形一般辅助线的作法、勾股定理等知识点的运用．