Question

12．如图，△ABC中，AB=$\sqrt{5}$，AC=5，tanA=2，D是BC中点，点P是AC上一个动点，将△BPD沿PD折叠，折叠后的三角形与△PBC的重合部分面积恰好等于△BPD面积的一半，则AP的长为2或5-$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 分两种情况：
①当点B′在AC的下方时，如图1，先根据中点的性质和重合部分面积恰好等于△BPD面积的一半得：F是PC的中点，由中位线得：DF∥BP，利用平行线的性质：得内错角相等，由折叠得角相等可得：∠B′PD=∠PDF，则PB=BD，利用tan∠A=$\frac{BE}{AE}$=2，计算AB=$\sqrt{5}$，从而得AP的长；
②当点B'在AC的上方时，如图2，连接B′C，证明四边形DPCB′是平行四边形，则PC=B′D=BD=$\sqrt{5}$，得AP的长．

解答 解：分两种情况：
①当点B′在AC的下方时，如图1，
∵D是BC中点，
∴S_△BPD=S_△PDC，
∵S_△PDF=$\frac{1}{2}$S_△BPD，
∴S_△PDF=$\frac{1}{2}$S_△PDC，
∴F是PC的中点，
∴DF是△BPC的中位线，
∴DF∥BP，
∴∠BPD=∠PDF，
由折叠得：∠BPD=∠B′PD，
∴∠B′PD=∠PDF，
∴PB′=B′D，
即PB=BD，
过B作BE⊥AC于E，
Rt△ABE中，tan∠A=$\frac{BE}{AE}$=2，
∵AB=$\sqrt{5}$，
∴AE=1，BE=2，
∴EC=5-1=4，
由勾股定理得：BC=$\sqrt{B{E}^{2}+E{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵D为BC的中点，
∴BD=$\sqrt{5}$，
∴PB=BD=$\sqrt{5}$，
在Rt△BPE中，PE=1，
∴AP=AE+PE=1=1=2；

②当点B'在AC的上方时，如图2，连接B′C，
同理得：F是DC的中点，F是PB′的中点，
∴DF=FC，PF=FB′，
∴四边形DPCB′是平行四边形，
∴PC=B′D=BD=$\sqrt{5}$，
∴AP=5-$\sqrt{5}$，
综上所述，AP的长为2或5-$\sqrt{5}$；
故答案为：2或5-$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了折叠变换问题、等积变换、三角形的中位线性质、平行线的性质、平行四边形的性质和判定以及勾股定理的综合运用，本题综合性较强，有一定的难度．