Question

5．【问题背景】已知：正方形ABCD的边长为1，点E是射线BC上一点，点F为射线CD上一点，∠EAF大小始终等于45°．

【先易后难】如图1，当点E在边BC上时，延长EB到F′，使BF′=DF，连接AF′．求证：EF′=EF．
【动中求静】当点E在BC延长线上时，直接写出BE，EF，DF三者之间的数量关系，不必证明．
【拓展探究】当点E在BC延长线上时，设AE与CD交于点G，如图2．问△EGF与△EFA能否相似？若能相似，求出BE的值；若不可能相似，请说明理由．

Answer 1

分析 【先易后难】由正方形的性质得出AB=AD，∠BAD=∠D=∠ABC=∠ABF′=90°，由SAS证明△ABF′≌△ADF，得出∠BAF′=∠DAF，AF′=AF，证出∠EAF′=∠EAF，由SAS证明△EAF′≌△EAF，得出对应边相等即可．
【动中求静】同上类似得出BE=EF+DF．
【拓展探究】△EGF与△EFA相似；只需∠EFG=∠EAF=45°，此时由CF=CE，设BE=x，DF=y，由BE=EF+DF得出EF=x-y，由勾股定理得出（x-1）²+（1+y）²=（x-y）²，得出y=$\frac{x-1}{x+1}$（x＞1），由CF=CE，得出方程，解方程即可．

解答 【先易后难】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠D=∠ABC=∠ABF′=90°，
在△ABF′和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠ABF′=∠D}&{\;}\\{BD′=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF′≌△ADF（SAS），
∴∠BAF′=∠DAF，AF′=AF，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=90°-45°=45°，
∴∠BAE+∠BAF′=45°，
即∠EAF′=45°=∠EAF，
在△EAF′和△EAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AF′=AF}&{\;}\\{∠EAF′=∠EAF}&{\;}\\{AE=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EAF′≌△EAF（SAS），
∴EF′=EF．
【动中求静】解：BE=EF+DF．
【拓展探究】解：△EGF与△EFA能相似；
∵∠GEF=∠FEA，
∴当∠EFG=∠EAF=45°时，△EGF与△EFA相似；
此时由CF=CE，
设BE=x，DF=y，
由（2）得：EF=x-y，
∵∠ECF=∠BCD=90°，
∴CE²+CF²=EF²，
即（x-1）²+（1+y）²=（x-y）²，
化简得：y=$\frac{x-1}{x+1}$（x＞1），
∵CF=CE，
∴x-1=1+y，
即x-1=1+$\frac{x-1}{x+1}$，
化简得：x²-2x-1=0，
解得：x=1±$\sqrt{2}$（负值舍去），
∴BE=1+$\sqrt{2}$．

点评 本题是相似形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．