题目内容
阅读材料，解答问题．
已知：锐角△ABC，如图，求作：正方形DEFG，使D、E落在BC边上，F、G分别落在AC、AB边上．
作法：（1）画一个有三个顶点落在△ABC两边上的正方形D1、E1、F1、G1（如图所示）；
（2）连接BF，并延长交AC于点F；
（3）过点F作EF⊥BC于点E；
（4）过F作FG∥BC，交AB于点G；
（5）过点G作GD⊥BC于点D；则四边形DEFG即为所求作的正方形．
问题：（1）说明上述所求作四边形DEFG为正方形的理由．
（2）在△ABC中，如果BC=120，BC边上的高为80，求上述正方形DEFG的边长．
（3）若把（2）中的正方形DEFG改为矩形DEFG，且GF=
DG，其他条件不变，此时，GF是多少？
解：（1）证明：∵EF⊥BC，GD⊥BC，
∴∠FED=∠EDG=90°，
∵FG∥BC，
∴∠EFG=180°-∠FED=90°，
∴四边形DEFG是矩形，
∵四边形D1E1F1G1是正方形，
∴E1F1=F1G1，F1G1∥BC，
∴
，
∴FG=EF，
∴四边形DEFG为正方形；
（2）过点A作AM⊥BC于M，交FG于N，
∵四边形DEFG为正方形，
∴FG∥BC，
∴AN⊥GF，△AGF∽△ABC，
∴
，
设正方形DEFG的边长为x，
则AM=80，AN=80-x，
即
，
解得：x=48，
∴正方形DEFG的边长为48；
（3）过点A作AM⊥BC于M，交FG于N，
∵四边形DEFG为矩形，
∴FG∥BC，
∴AN⊥GF，△AGF∽△ABC，
∴，
∵GF=DG，
设GF=x，则DG=2x，AM=80，AN=AM=MN=AM-DG=80-2x，
即
，
解得：x=30，
∴GF=30．
分析：（1）由EF⊥BC，GD⊥BC，FG∥BC，易得四边形DEFG是矩形，然后由四边形D1E1F1G1是正方形，可得，则可得FG=EF，即可证得四边形DEFG为正方形；
（2）过点A作AM⊥BC于M，交FG于N，由四边形DEFG为正方形，可得△AGF∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比，设正方形DEFG的边长为x，即可得方程，解此方程即可求得答案；
（3）过点A作AM⊥BC于M，交FG于N，由四边形DEFG为矩形，可得△AGF∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比，设GF=x，则DG=2x，即可得方程，解此方程即可求得答案．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、矩形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，解题时注意数形结合思想与方程思想的应用，注意准确作出辅助线是解此题的关键．
∴∠FED=∠EDG=90°，
∵FG∥BC，
∴∠EFG=180°-∠FED=90°，
∴四边形DEFG是矩形，
∵四边形D1E1F1G1是正方形，
∴E1F1=F1G1，F1G1∥BC，
∴
，∴FG=EF，
∴四边形DEFG为正方形；
（2）过点A作AM⊥BC于M，交FG于N，
∵四边形DEFG为正方形，
∴FG∥BC，
∴AN⊥GF，△AGF∽△ABC，
∴
，设正方形DEFG的边长为x，
则AM=80，AN=80-x，
即
，解得：x=48，
∴正方形DEFG的边长为48；
（3）过点A作AM⊥BC于M，交FG于N，
∵四边形DEFG为矩形，
∴FG∥BC，
∴AN⊥GF，△AGF∽△ABC，
∴
，∵GF=
DG，设GF=x，则DG=2x，AM=80，AN=AM=MN=AM-DG=80-2x，
即
，解得：x=30，
∴GF=30．
分析：（1）由EF⊥BC，GD⊥BC，FG∥BC，易得四边形DEFG是矩形，然后由四边形D1E1F1G1是正方形，可得
，则可得FG=EF，即可证得四边形DEFG为正方形；（2）过点A作AM⊥BC于M，交FG于N，由四边形DEFG为正方形，可得△AGF∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比，设正方形DEFG的边长为x，即可得方程
，解此方程即可求得答案；（3）过点A作AM⊥BC于M，交FG于N，由四边形DEFG为矩形，可得△AGF∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比，设GF=x，则DG=2x，即可得方程
，解此方程即可求得答案．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、矩形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，解题时注意数形结合思想与方程思想的应用，注意准确作出辅助线是解此题的关键．
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24、阅读材料，解答问题．
