题目内容
【题目】已知抛物线
（
为正整数，且
）与
轴的交点为
和
，
，当
时，第1条抛物线
与轴的交点为和
，其他依次类推．
（1）求
，
的值及抛物线
的解析式；
（2）抛物线
的顶点
的坐标为（ ， ）；依次类推，第
条抛物线
的顶点
的坐标为（ ， ）；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是 ；
（3）探究下列结论：
①是否存在抛物线，使得
为等腰直角三角形？若存在，请求出抛物线的表达式；若不存在，请说明理由；
②若直线
与抛物线分别交于则线段
，
，…
则线段
，
，…
的长有何规律？请用含
的代数式表示．
【答案】（1）
，
，
；（2）3，9，
，
，
；（3）①存在，
，②
．
【解析】
(1)A1(2，0)，则C1=2，则C2=2+2=4，将点A、A1的坐标代入抛物线表达式可求得，，由A1(2，0)，则C1=2，则C2=2+2=4，即可求得答案；
(2)同理可得：a3=3，b3=9，依此推出点
的坐标为(n，n2)，故所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是：y=x2，即可求解；
(3)①△AAnBn为等腰直角三角形，则AAn2=2ABn2，即(2n)2=2(n2+n4)，即可求解；
②由题意得
，
，求得 
，即可求解．
(1)当
时，第1条抛物线
与
轴的交点为
，
，
∴
则，．
由
可知，
，
∴抛物线
与轴的交点为，
，
；
故答案为：，，；
(2)同理可得：抛物线
与轴的交点为，
，
，
∴a3=3，b3=9，
，
依此推出：点(n，n2)；
故所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是：y=x2，
故答案为： 3，9，，，；
(3)①存在，由(1)，(2)得
，
．
当
为等腰直角三角形，则AAn2=2ABn2，即
，
∴
，
解得
，
(舍去)
∴存在抛物线
使得为等腰直角三角形，
此时抛物线为：
②∵
．
当
时，，，
∴
，
∴．
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