题目内容
【题目】在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，其外接圆的半径为r．
（探究）
（1）如图甲，作直径BD，若r=3，发现
的值为 ．
（2）猜想，
，
之间的关系，并证明你的猜想．
（应用）
（3）如图乙，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上，求此时货轮距灯塔A的距离AB．
【答案】（1）6；（2）
=
=
，证明见解析；（3）货轮距灯塔的距离为
海里．
【解析】
（1）在图甲中，连接DC，推出∠A=∠D，在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出sinD=
，即可求得答案；
（2）由（1）推出，在Rt△DBE中，
，同理：
，
，即可推出结论==；
（3）在图乙中，先求出∠ACB=60°，∠ABC=75°，∠A=45°，再求出BC=30海里，由（2）所得结论，在△ABC中，通过
，即可求出AB长度．
（1）如图甲，连接DC，
则∠A=∠D，
∵BD是直径，
∴∠BCD=90°，
∴在Rt△BCD中，
sinD=，
∴sinA=
，
∴
，
故答案为：6；
（2）==
理由如下：
如图甲，
由（1）知，∠D=∠A，∠BCD=90°，
在Rt△DBE中，
同理：，
∴==
（3）作如图乙所示辅助线，
则∠BHC=90°，
∴∠HBC=90°-∠HCB=60°，∠HBA=90°-75°=15°，
∴∠ABC=∠HBC+∠HBA=75°，
∴∠A=180°-∠ACB-∠ABC=45°，
由题意知，BC=60×0.5=30（海里），
由（2）知，在△ABC中，，
即
，
解之得：AB=，
答：货轮距灯塔的距离为海里．
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