Question

10．如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG：OC=3：5，AB=8．
（1）求⊙O的半径；
（2）点E为圆上一点，∠ECD=15°，将$\widehat{CE}$沿弦CE翻折，交CD于点F，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）根据AB⊥CD，垂足为G，OG：OC=3：5，AB=8，可以求得⊙O的半径；
（2）要求阴影部分的面积只要做出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数、扇形的面积和三角形的面积即可解答本题．

解答 解：（1）连接AO，如右图1所示，
∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB=8，
∴AG=$\frac{1}{2}AB$=4，
∵OG：OC=3：5，AB⊥CD，垂足为G，
∴设⊙O的半径为5k，则OG=3k，
∴（3k）²+4²=（5k）²，
解得，k=1或k=-1（舍去），
∴5k=5，
即⊙O的半径是5；
（2）如图2所示，将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M，
∵∠ECD=15°，由对称性可知，∠DCM=30°，S_阴影=S_弓形CBM，
连接OM，则∠MOD=60°，
∴∠MOC=120°，
过点M作MN⊥CD于点N，
∴MN=MO•sin60°=5×$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴S_阴影=S_扇形OMC-S_△OMC=$\frac{120×π×{5}^{2}}{360}-\frac{1}{2}×5×\frac{5\sqrt{3}}{2}$=$\frac{25π}{3}-\frac{25\sqrt{3}}{4}$，
即图中阴影部分的面积是：$\frac{25π}{3}-\frac{25\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查垂径定理、扇形的面积、翻折变换，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．