Question

19．如图，BD为⊙O的直径，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，过点A作⊙O的切线FA交DB延长线于点F，且AF∥BC．
（1）求证：AB=AC；
（2）求AF的长．

Answer 1

分析 （1）连接OA，由AF是⊙O的切线知OA⊥AF，根据AF∥BC即可得OA⊥BC，从而根据垂径定理得证；
（2）先根据相似三角形的判定得到△ABE∽△ADB，从而根据相似三角形的对应边成比例即可得到AB的长，根据圆周角定理求得△ABD是直角三角形，根据正切函数求得∠D=30°，求得∠AOB=60°，证得OA=OB=AB=2$\sqrt{3}$，在Rt△AOF中，通过正切函数即可求得AF的长．

解答 解：（1）如图，连接OA，

∵AF是⊙O的切线，
∴OA⊥AF，
∵AF∥BC，
∴OA⊥BC，
∴AB=AC；

（2）∵AB=AC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴∠ABE=∠ADB，
∵∠BAE=∠DAB=90°，∠ABE=∠ADB，
∴△ABE∽△ADB．
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AE}{AB}$．
∴AB²=AE•AD=2×（2+4）=12．
∴AB=2$\sqrt{3}$，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∵tan∠D=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{2\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠D=30°，
∴∠AOB=60°，
∴OA=OB=AB=2$\sqrt{3}$，
∵OA⊥AF，
∴tan∠AOF=$\frac{AF}{OA}$=$\sqrt{3}$，
∴AF=$\sqrt{3}$OA=$\sqrt{3}$×$2\sqrt{3}$=6．

点评 此题主要考查切线的判定，平行线的性质，圆周角定理以及正切函数等知识点的综合运用，熟练掌握性质定理是解题的关键．