Question

20．已知，关于x的方程x²-4x+3-k=0．
（1）当k为何值时方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一根2+$\sqrt{3}$，求k的值及方程的另一根．

Answer 1

分析 （1）先求出△，再根据根的判别式即可求出k的值；
（2）先把x=2+$\sqrt{3}$代入方程可计算出k，然后利用根与系数的关系计算出另一个根即可．

解答 解：（1）该方程的判别式为：△=（-4）²-4（3-k）=4+4k，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴4+4k＞0，
解得：k＞-1；
∴当k＞-1时方程有两个不相等的实数根；

（2）把x=2+$\sqrt{3}$代入方程得：（2+$\sqrt{3}$）²-4（2+$\sqrt{3}$）+3-k=0．
解得k=2，
设方程另一个根为t，
则2$+\sqrt{3}$+t=4，
解得：t=2-$\sqrt{3}$，
即另一根为2-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解和根与系数的关系．