Question

15．如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，P、Q分别为AB、AC的点，且∠QPC=45°，PQ=BC，证明：BC=CQ．

Answer 1

分析 以BC为边，在△ABC内构造等边三角形DBC，连接DA、DP、DQ，得平行四边形BDPQ，利用平行四边形的性质说明PQ=DB=BC．

解答 证明：在△ABC内部做等边三角形DBC，连接DQ，DP，AD
∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°
∴∠ABC=∠ACB=75°
∵等边三角形DBC中
∴BC=DB=DC
∴∠DBC=∠DCB=60°
∴∠ABD=∠ACD=15°
在△ABD与△ACD中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AD=AD}\\{BD=CD}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACD（SAS）
∴∠BAD=∠CAD=15°
∴∠DBA=∠BAD，∠DAC=∠DCA
∴BD=AD=CD
∵∠BAC=30°，∠QPC=45°
∴∠AQP=∠QPC-∠BAC=15°
∴∠AQP=∠ABD
∴PQ∥BD
∵PQ=BC
∴PQ∥BD，PQ=BD
∴四边形BDPQ是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴BQ=DP，BQ∥DP（平行四边形两组对边分别相等且平行）
∴∠QPD=∠ABD=15°（平行四边形对角相等）
∴∠DPC=30°
∴∠DPC=∠PAQ=30°，∠DCP=∠PQA=15°
∴CD=QP
在△DPC与△PAQ中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCP=∠PQA}\\{∠DPC=∠PAQ}\\{CD=QP}\end{array}\right.$
∴△DPC≌△PAQ（AAS）
∴DP=AP
在梯形AQDP中，AQ∥DP，PQ=BD=AD
∴DQ=AP（对角线相等的梯形是等腰梯形）
∴DP=DQ
∴BQ=DQ
在△BCQ与△DCQ中
$\left\{\begin{array}{l}{QC=QC}\\{BC=DC}\\{BQ=DQ}\end{array}\right.$
∴△BCQ≌△DCQ（SSS）
∴∠BCQ=∠DCQ=30°
∵△BCQ中，∠DCQ=30°，∠CBQ=75°
∴∠CQB=75°=∠CBQ
∴BC=CQ

点评 本题考查了等腰三角形、等边三角形、以及平行四边形的性质．做等边三角形构造平行四边形是关键．另本题的解决亦可运用反证法或者统一法．