Question

6．如图一，在矩形AOBC中，OA=8，OB=6，以OB，OA所在的直线建立直角坐标系xOy，点D为BC上一点，连接AB，OD交于点E，AB⊥OD，垂足为E．
（1）求点D的坐标；
（2）如图二，点M从点E出发，沿线段EO向点O运动，点F从点O出发，沿线段OA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
①求t为何值时，△MOF与△AOB相似？
②设△OMF的面积S_△OMF，请用含t的代数式表示S_△OMF，当FA＞3ME时，确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S_△OMF：S_△ABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据△BOD∽△OAB，列出比例式$\frac{BD}{OB}$=$\frac{OB}{AO}$，求得BD的长即可得出点D的坐标；
（2）①分两种情况讨论：当MF⊥AO时，△MFO∽△AOB；当FM⊥OD时，△FOM∽△ABO，分别根据相似三角形的对应边成比例，列出方程式求解即可；
②过点M作MG⊥AO于G，根据△MOG∽△ABO，求得MG=$\frac{96}{25}-\frac{4}{5}t$，再根据S_△OMF：S_△ABC=9：100，列出关于t的方程式，求得t的值并进行检验即可．

解答 解：（1）∵在矩形AOBC中，OA=8，OB=6，AB⊥OD，
∴∠OBD=∠AOB=90°，∠BOD=∠OAB，AB=10，
∴△BOD∽△OAB，
∴$\frac{BD}{OB}$=$\frac{OB}{AO}$，即$\frac{BD}{6}$=$\frac{6}{8}$，
∴BD=4.5，
∴D（6，4.5）；

（2）①由题可得OF=t，EM=t，
Rt△AOB中，OE=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$，
如图所示，当MF⊥AO时，△MFO∽△AOB，

此时，$\frac{OF}{BO}$=$\frac{OM}{BA}$，
即$\frac{t}{6}$=$\frac{\frac{24}{5}-t}{10}$，
解得t=1.8；
如图所示，当FM⊥OD时，△FOM∽△ABO，

此时，$\frac{OF}{AB}$=$\frac{OM}{BO}$，
即$\frac{t}{10}$=$\frac{\frac{24}{5}-t}{6}$，
解得t=3；
综上所述，当t为1.8秒或3秒时，△MOF与△AOB相似；

②如图所示，过点M作MG⊥AO于G，则∠OGM=∠BOA，∠GOM=∠OBA，

∴△MOG∽△ABO，
∴$\frac{MG}{MO}$=$\frac{AO}{AB}$，即$\frac{MG}{\frac{24}{5}-t}$=$\frac{8}{10}$，
解得MG=$\frac{96}{25}-\frac{4}{5}t$，
∵S_△OMF：S_△ABC=9：100，
∴$\frac{\frac{1}{2}×OF×MG}{\frac{1}{2}×AC×BC}$=$\frac{9}{100}$，即$\frac{t×（\frac{96}{25}-\frac{4}{5}t）}{6×8}$=$\frac{9}{100}$，
解得t₁=3，t₂=1.8，
∵FA＞3ME，
∴8-t＞3t，
解得t＜2，
∴t₂=1.8符合题意，
∴存在当t=1.8时，S_△OMF：S_△ABC=9：100．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意分类讨论思想的运用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例列出关系式进行计算．