Question

17．P为△ABC内一点，且PA=4，PC=5，PB=3，将△APC绕点A逆时针旋转使P与P’对应，C与B对应，则四边形AP′BP的面积为（　　）

• A． 4$\sqrt{3}$+6
• B． 12$\sqrt{3}$+6
• C． 60
• D． 42

Answer 1

分析 先连接PP'，判定△APP'是等边三角形，得出PP'=AP=4，进而得出S_△APP'=4$\sqrt{3}$，再根据△BPP'是直角三角形，且∠BPP'=90°，可得S_△BPP'=6，进而得到四边形AP′BP的面积．

解答 解：如图，连接PP'，
由旋转可得，∠PAP'=∠CAB=60°，AP=AP'，
∴△APP'是等边三角形，
∴PP'=AP=4，
∴S_△APP'=$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
由旋转可得，BP'=CP=5，
∴BP²+P'P²=25=P'B²，
∴△BPP'是直角三角形，且∠BPP'=90°，
∴S_△BPP'=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
∴四边形AP′BP的面积为4$\sqrt{3}$+6，
故选：A．

点评 本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定以及勾股定理的逆定理的运用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形以及直角三角形．