Question

7．如图（图1），点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，连接CN、DM．
（1）求证：△ADM≌△DCN；
（2）如图（图2），设CN、DM的交点为H，连接BH，求证：BC=BH；
（3）将△ADM沿DM翻折得到△A′DM，延长MA′交DC的延长线于点E，如图（图3），求tan∠DEM．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质、全等三角形的判定定理证明△ADM≌△DCN；
（2）延长DM、CB交于点P，根据平行线的性质得到BP=AD，根据直角三角形的性质证明即可；
（3）根据翻转变换的性质得到∠AMD=∠DME，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理得到EM=ED，根据勾股定理、正弦的概念计算即可．

解答 证明：（1）∵点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，
∴AM=DN．AD=DC．∠A=∠CDN，
在△AMD和△DNC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=DN}\\{∠A=∠CDN}\\{AD=DC}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△DNC（SAS）；
（2）如图2，延长DM、CB交于点P，
∵AD∥BC，MA=MB，
∴BP=AD=BC．
∵由（1）可得∠CHP=90°，
∴∠PHC=90°，
∴BH=$\frac{1}{2}$PC=BC；
（3）∵将△ADM沿DM翻折得到△A′DM，
∴∠AMD=∠DME，
∵AB∥DC，
∴∠EDM=∠AMD=∠DME，
∴EM=ED．
设AD=A′D=4a，则A′M=AM=2a，
∴DE=ME=EA′+2a．
在Rt△DA′E中，A′D²+A′E²=DE²，
∴（4a）²+A′E²=（EA′+2a）²，
解得A′E=3a，
∴在直角△A′DE中，tan∠DEM=A′D：A′E=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查的是全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、正弦的概念、翻转变换的性质以及勾股定理的应用，掌握翻转变换是轴对称、全等三角形、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．