Question

6．如图，边长为4的正方形ABCD，F是边DC上一点，射线AF顺时针旋转45°，交对角线BD于点G．
（1）探究AG、FG的关系，并说明理由．
（2）设DF为x，四边形ADFG面积为y，求x、y的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）先根据∠BAG=∠CAF，∠ABG=∠ACF=45°，判定△ABG∽△ACF，进而得出$\frac{AG}{AB}$=$\frac{AF}{AC}$，再根据∠GAF=∠BAC=45°，即可得到△AGF∽△ABC，据此可得AG、FG的关系；
（2）根据正方形ABCD的边长为4，DF=x，即可得到AF²=4²+x²=16+x²，再根据S_{四边形ADFG}=S_△ADF+S_△AFG，进行计算即可得到x、y的函数关系式．

解答 解：（1）如图，连接AC，则∠BAC=∠∠GAF=45°，
∴∠BAG=∠CAF，
又∵∠ABG=∠ACF=45°，
∴△ABG∽△ACF，
∴$\frac{AG}{AF}$=$\frac{AB}{AC}$，即$\frac{AG}{AB}$=$\frac{AF}{AC}$，
又∵∠GAF=∠BAC=45°，
∴△AGF∽△ABC，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴△AGF是等腰直角三角形，
∵AB=BC，
∴AG=FG；

（2）∵正方形ABCD的边长为4，DF=x，
∴AF²=4²+x²=16+x²，
∵S_{四边形ADFG}=S_△ADF+S_△AFG，
∴y=$\frac{1}{2}$×4×x+$\frac{1}{4}$（16+x²）=$\frac{1}{4}{x}^{2}$+2x+4（0＜x≤4）．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据相似三角形的对应边成比例解决问题．