Question

9．在同一直角坐标系中，抛物线C₁：y=ax²-2x-3与抛物线C₂：y=x²+mx+n关于y轴对称，C₂与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．
（1）求抛物线C₁，C₂的函数表达式；
（2）求A、B两点的坐标；
（3）在抛物线C₁上是否存在一点P，在抛物线C₂上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由对称可求得a、n的值，则可求得两函数的对称轴，可求得m的值，则可求得两抛物线的函数表达式；
（2）由C₂的函数表达式可求得A、B的坐标；
（3）由题意可知AB只能为平行四边形的边，利用平行四边形的性质，可设出P点坐标，表示出Q点坐标，代入C₂的函数表达式可求得P、Q的坐标．

解答 解：
（1）∵C₁、C₂关于y轴对称，
∴C₁与C₂的交点一定在y轴上，且C₁与C₂的形状、大小均相同，
∴a=1，n=-3，
∴C₁的对称轴为x=1，
∴C₂的对称轴为x=-1，
∴m=2，
∴C₁的函数表示式为y=x²-2x-3，C₂的函数表达式为y=x²+2x-3；
（2）在C₂的函数表达式为y=x²+2x-3中，令y=0可得x²+2x-3=0，解得x=-3或x=1，
∴A（-3，0），B（1，0）；
（3）存在．
∵AB的中点为（-1，0），且点P在抛物线C₁上，点Q在抛物线C₂上，
∴AB只能为平行四边形的一边，
∴PQ∥AB且PQ=AB，
由（2）可知AB=1-（-3）=4，
∴PQ=4，
设P（t，t²-2t-3），则Q（t+4，t²-2t-3）或（t-4，t²-2t-3），
①当Q（t+4，t²-2t-3）时，则t²-2t-3=（t+4）²+2（t+4）-3，解得t=-2，
∴t²-2t-3=4+4-3=5，
∴P（-2，5），Q（2，5）；
②当Q（t-4，t²-2t-3）时，则t²-2t-3=（t-4）²+2（t-4）-3，解得t=2，
∴t²-2t-3=4-4-3=-3，
∴P（2，-3），Q（-2，-3），
综上可知存在满足条件的点P、Q，其坐标为P（-2，5），Q（2，5）或P（2，-3），Q（-2，-3）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、对称的性质、函数图象与坐标轴的交点、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中由对称性质求得a、n的值是解题的关键，在（2）中注意函数图象与坐标轴的交点的求法即可，在（3）中确定出PQ的长度，设P点坐标表示出Q点的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．