Question

4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=OC，连接CE，OE．
（1）求证：OE=CD；
（2）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，证明OCED是矩形，可得OE=CD即可；
（2）根据菱形的性质得出AC=AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可．

解答 （1）证明：在菱形ABCD中，OC=$\frac{1}{2}$AC．
∴DE=OC．
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵AC⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形．  
∴OE=CD．
（2）解：在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴AC=AB=4，
∴在矩形OCED中，
CE=OD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
在Rt△ACE中，
AE=$\sqrt{A{C}^{2}+C{E}^{2}}$=2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．