Question

14．如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，过点D作∠CDE，使∠CDE=∠DFE，DE交AB的延长线于点E．过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G．
（1）求证：GE是⊙O的切线；
（2）若OA=2，∠G=50°，求弧$\widehat{AD}$的长；
（3）若OF：OB=1：3，BE=4，求OB的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，如图，先证明∠3=∠1，再证明∠C=∠4，然后利用∠3+∠C=90°得到∠1+∠4=90°，则OD⊥DE，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）由切线的性质得∠OAG=90°，则利用四边形内角和可计算出∠AOD=130°，然后根据弧长公式可计算出弧$\widehat{AD}$的长；
（3）设OF=x，则OB=3x，则可表示出BF=2x，再利用∠1=∠2得到ED=EF=2x+4，然后在Rt△ODE中，根据勾股定理得到（3x）²+（2x+4）²=（4+3x）²，再解方程求出x即可得到OB的长．

解答 （1）证明：连接OD，如图，
∵∠1=∠2，
而∠2=∠3，
∴∠3=∠1，
∵OC⊥AB，
∴∠3+∠C=90°，
∴∠1+∠C=90°，
而OC=OD，
∴∠C=∠4，
∴∠1+∠4=90°，即∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴GE是⊙O的切线；
（2）解：∵AG为切线，
∴AG⊥AB，
∴∠OAG=90°，
而∠ODG=90°，
∴∠AOD=180°-50°=130°，
∴弧$\widehat{AD}$的长=$\frac{130•π•2}{180}$=$\frac{13}{9}$π；
（3）解：设OF=x，则OB=3x，
∴BF=2x，
∵∠1=∠2，
∴ED=EF=2x+4，
在Rt△ODE中，∵OD²+DE²=OE²，
∴（3x）²+（2x+4）²=（4+3x）²，解得x=2，
∴OB=3x=6．

点评 本题考查了切线的判断与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．常见的辅助线有：判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； 有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了弧长公式．