如图.在平面直角坐标系中.抛物线y=a(x-1)2-4a交x轴于A.B两点.点A在点B的左边.其顶点为点C.一条开口向下的抛物线经过A.B.D三点.其顶点D在x轴上方.且其纵坐标为3.连接AC.AD.CD．(1)直接写出A.B两点的坐标,(2)求经过A.B.D三点的抛物线所对应的函数表达式,(3)当△ACD为等腰三角形时.求a的值,(4)将线段AC绕点A旋转90°.若点C� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x-1）²-4a（a＞0）交x轴于A、B两点，点A在点B的左边，其顶点为点C，一条开口向下的抛物线经过A、B、D三点，其顶点D在x轴上方，且其纵坐标为3，连接AC、AD、CD．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）求经过A、B、D三点的抛物线所对应的函数表达式；
（3）当△ACD为等腰三角形时，求a的值；
（4）将线段AC绕点A旋转90°，若点C的对应点恰好落在（2）中的抛物线上，直接写出a的值．

分析（1）根据点的特点，令y=0，求出方程的解，即可；
（2）根据抛物线解析式确定出点C，D的坐标和对称轴方程，再设出所求解析式即可．
（3）△ACD为等腰三角形时，分三种情况计算：①以CD为底时，则C，D关于x轴对称，建立方程求解，②以AC为底时，则AD=CD，建立方程求解，③以AD为底时，则AC=CD，建立方程求解即可．
（4）先表示出直线AC的解析式为y=-2ax-2a，从而求出直线l与抛物线的交点M（$\frac{9a-2}{3a}$，$\frac{6a-1}{3{a}^{2}}$），然后表示出AM，AC建立方程即可．

解答解：（1）令y=0，
∴a（x-1）²-4a=0，
∵a＞0，
∴（x-1）²-4=0
∴x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
（2）∵y=a（x-1）²-4a，
∴抛物线的顶点C（1，-4a），对称轴为x=1，
∴D（1，3），
设经过A，B，D三点的抛物线解析式为y=m（x-1）²+3，
∴m=-$\frac{3}{4}$，
∴经过A，B，D三点的抛物线解析式为y=-$\frac{3}{4}$（x-1）²+3=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+$\frac{9}{4}$，
（3）当△ACD为等腰三角形时，分三种情况计算，
①以CD为底时，则C，D关于X轴对称，
∴C（1，-3），
∴-4a=-3，
∴a=$\frac{3}{4}$，
②以AC为底时，则AD=CD，
根据勾股定理得，AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴CD=2-（-4a）=3+4a=$\sqrt{13}$，
∴a=$\frac{\sqrt{13}-3}{4}$；
③以AD为底时，则AC=CD，
根据勾股定理得，AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=2$\sqrt{4{a}^{2}+1}$，
∴CD=3-（-4a）=2$\sqrt{4{a}^{2}+1}$，
∴a=-$\frac{5}{24}$＜0（舍）；
（4）由（1）知，A（-1，0），C（1，4a），AC=2$\sqrt{4{a}^{2}+1}$，
∴直线AC的解析式为y=-2ax-2a，
设线段AC绕点A旋转90°得到的直线为l，
∴l⊥AC且过点A，
∴直线l解析式为y=$\frac{1}{2a}$x+$\frac{1}{2a}$，
∵抛物线y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+$\frac{9}{4}$，
∴3ax²+（2-6a）x+2-9a=0，
∴x₁=1（舍），x₂=$\frac{9a-2}{3a}$，
∴直线l与抛物线的交点M（$\frac{9a-2}{3a}$，$\frac{6a-1}{3{a}^{2}}$），
∴AM=|6a-1|×$\frac{\sqrt{4{a}^{2}+1}}{3{a}^{2}}$，
∵AM=AC，
∴2$\sqrt{4{a}^{2}+1}$=|6a-1|×$\frac{\sqrt{4{a}^{2}+1}}{3{a}^{2}}$，
∴6a²=|6a-1|
当6a-1≥0时，6a²=6a-1，
∴a=$\frac{3±\sqrt{3}}{6}$，
当6a-1＜0时，6a²=1-6a，
∴a=-3±$\sqrt{3}$（舍），
即：a₁=$\frac{3+\sqrt{3}}{6}$，a₂=$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$．